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Curso 3 de 5 no
Especialização de Matemática para Engenheiros
Nível iniciante
Um curso em cálculo variável única
Aproximadamente. 29 horas para concluir
Inglês
Legendas: inglês

Jeffrey R. Chasnov
Professor
Syllabus do Departamento de Matemática – O que você aprenderá com este curso
Vetores
Um vetor é um construto matemático que tem comprimento e direção. Definiremos vetores e aprenderemos a adicioná -los e subtraí -los e como multiplicá -los usando os produtos escalares e vetoriais (pontos e produtos cruzados). Usaremos vetores para aprender alguma geometria analítica de linhas e aviões e aprendermos sobre o Delta do Kronecker e o símbolo Levi-Civita para provar identidades vetoriais. Os conceitos importantes de campos escalares e vetoriais serão introduzidos.
Diferenciação
Os campos escalares e vetoriais podem ser diferenciados. Definimos a derivada parcial e derivamos o método dos mínimos quadrados como um problema de minimização. Aprendemos a usar a regra da cadeia para uma função de várias variáveis ​​e derivamos a regra de produto triplo usado na engenharia química. Definimos o gradiente, a divergência, o Curl e o Laplacian. Aprendemos algumas identidades úteis de cálculo vetorial e como derivá-las usando o símbolo Kronecker Delta e Levi-Civita. As identidades vetoriais são então usadas para derivar a equação da onda eletromagnética da equação de Maxwell no espaço livre. As ondas eletromagnéticas formam a base de todas as tecnologias modernas de comunicação.
Integração e coordenadas curvilíneas
A integração pode ser estendida a funções de várias variáveis. Aprendemos a realizar integrais duplas e triplas. Coordenadas curvilíneas, nomeadamente coordenadas polares em duas dimensões e coordenadas cilíndricas e esféricas em três dimensões, são usadas para simplificar problemas com simetria circular, cilíndrica ou esférica. Aprendemos a escrever operadores diferenciais em coordenadas curvilíneas e como alterar variáveis ​​em integrais multidimensionais usando o jacobiano da transformação.
Integrais de linha e superfície
Campos escalares ou vetoriais podem ser integrados em curvas ou superfícies. Aprendemos como pegar a linha integral de um campo escalar e usar integrais de linha para calcular comprimentos de arco. Em seguida, aprendemos a tomar integrais de linha de campos vetoriais, levando o produto DOT do campo vetorial com vetores de unidade tangente para a curva. A consideração da integral da linha de um campo de força resulta no teorema da energia profissional. Em seguida, aprendemos a tomar a integridade da superfície de um campo escalar e calcular as áreas de superfície. Em seguida, aprendemos a tomar a integridade da superfície de um campo vetorial, levando o produto DOT do campo vetorial com o vetor de unidade normal para a superfície. A integral da superfície de um campo de velocidade é usada para definir o fluxo de massa de um fluido através da superfície.
Teoremas fundamentais
O teorema fundamental do cálculo vincula a integração à diferenciação. Aqui, aprendemos os teoremas fundamentais relacionados do cálculo vetorial. Isso inclui o teorema do gradiente, o teorema da divergência e o teorema de Stokes. Mostramos como esses teoremas são usados ​​para derivar equações de continuidade, derivar a lei da conservação de energia, definir a divergência e enrolar em forma livre de coordenadas e converter a versão integral das equações de Maxwell em sua forma diferencial mais esteticamente agradável.